过椭圆x^2/16+y^2/4=1内一点M（2,0）引一直线与椭圆交于A,B两点若弦AB被M平分,问这样的直线是否存在,若存在,求其方程若不存在,说明理由.

题目

过椭圆x^2/16+y^2/4=1内一点M（2,0）引一直线与椭圆交于A,B两点若弦AB被M平分,问这样的直线是否存在,若存在,求其方程若不存在,说明理由.

答案

点差法
设直线与椭圆交点A(x1,y1) B(x2,y2)
AB中点M(2,0)
A,B在椭圆上
则x1^2/16+y1^2/4=1
x2^2/16+y2^2/4=1
两式相减得
(x1^2-x2^2)/16+(y1^2-y2^2)/4=0
[(x1-x2)(x1+x2)]/16+[(y1-y2)(y1+y2)]/4=0
由中点坐标公式
x1+x2=2*2=4
y1+y2=2*0=0
代入得
(x1-x2)/4+0=0
x1=x2
可知直线倾斜角90°
所求直线x=2