已知函数f（x）的定义域为R，对于任意实数a，b∈R都有f（a+b）=f（a）+f（b），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2，试判断f（x）在[-3，3）上是否有最大值和最小值？如果有，求出最

题目

已知函数f（x）的定义域为R，对于任意实数a，b∈R都有f（a+b）=f（a）+f（b），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2，试判断f（x）在[-3，3）上是否有最大值和最小值？如果有，求出最大值和最小值，如果没有，说明理由．

答案

令a=b=0知f（0）=0，
令a=x，b=-x，则f（x）+f（-x）=0，
∴f（x）为奇函数．
任取两个自变量x₁，x₂且-∞＜x₁＜x₂＜+∞，
则f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁），
∵x₂＞x₁，∴x₂-x₁＞0知f（x₂-x₁）＜0，即f（x₂）-f（x₁）＜0，
故f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在（-∞，+∞）上是减函数．
因此f（x）在[-3，3）上有最大值f（-3），
由于x≠3，则f（3）取不到，无最小值．              
由于f（3）=f（2）+f（1）=f（1）+f（1）+f（1）=3f（1）=-6，
故最大值为f（-3）=-f（3）=6．