已知等腰三角形△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BE平分∠ABC,求证：BC=AB+AE

题目

已知等腰三角形△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BE平分∠ABC,求证：BC=AB+AE

答案

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证明：做EF⊥BC,交BC于F
∵BE平分∠ABC
∴AE=EF
∵Rt△ABC是等腰三角形
∴∠C=45°
∴△CEF是等腰直角三角形
∴EF=CF
∴AE=CF（等量代换）
在△ABE和△BEF中
   ∠A=∠BEF
   AE=EF
     BE=BE
∴△ABE和△BEF全等
所以AB=BF
综上,∴AB+AE=BF+CF=BC