已知x1、x2是方程x2-（k-2）x+（k2+3k+5）=0的两个实根，则x12+x22的最大值是（　　） A.19 B.18 C.559 D.以上答案都不对

题目

已知x₁、x₂是方程x²-（k-2）x+（k²+3k+5）=0的两个实根，则x₁²+x₂²的最大值是（　　）
A. 19
B. 18
C. 5

5

9

答案

由方程有实根，得△≥0，即（k-2）²-4（k²+3k+5）≥0⇒3k²+16k+16≤0⇒（3k+4）（k+4）≤0
⇒-4≤k≤-

4

3

．
又由x₁+x₂=k-2，x₁•x₂=k²+3k+5，得
x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（k-2）²-2（k²+3k+5）=-k²-10k-6=19-（k+5）²，
当k=-4时，x₁²+x₂²取最大值18．
故选B．