某小型工厂安排甲乙两种产品的生产,已知工厂生产甲乙两种产品每吨所需要的原材料A、B、C的数量和一周内可用资源数量如下表所示: 原材料 甲(吨) 乙(吨) 资源数量(吨) A 1 1 50 B
题目
某小型工厂安排甲乙两种产品的生产,已知工厂生产甲乙两种产品每吨所需要的原材料A、B、C的数量和一周内可用资源数量如下表所示:
原材料 | 甲(吨) | 乙(吨) | 资源数量(吨) |
A | 1 | 1 | 50 |
B | 4 | 0 | 160 |
C | 2 | 5 | 200 |
如果甲产品每吨的利润为300元,乙产品每吨的利润为200元,那么应如何安排生产,工厂每周才可获得最大利润?
答案
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/95eef01f3a292df5522e7ba4bf315c6035a87396.jpg)
设工厂一周内安排生产甲产品x吨、乙产品y吨,所获周利润为z元. (2分)
依据题意,得目标函数为z=300x+200y,(4分)
约束条件为
| x+y≤50 | 4x≤160 | 2x+5y≤200 | y≥0 | x≥0 |
| |
. (8分)
欲求目标函数z=300x+200y的最大值.
先画出约束条件的可行域,求得有关点
A(40,0)、B(40,10)、C(,)、D(0,40),如图阴影部分所示.
将直线300x+200y=0向上平移,可以发现,经过可行域的点B时,函数z=300x+200y的值最大(也可通过代凸多边形端点进行计算,比较大小求得),最大值为14000(元). (11分)
所以工厂每周生产甲产品40吨,乙产品10吨时,工厂可获得的周利润最大(14000元).(12分)
设工厂一周内安排生产甲产品x吨、乙产品y吨,抽象出约束条件
| x+y≤50 | 4x≤160 | 2x+5y≤200 | y≥0 | x≥0 |
| |
,所获周利润为z元,依据题意,得目标函数为z=300x+200y,,然后求得最优解,即求得利润的最大值和最大值的状态.
简单线性规划.
本题主要考查用简单的线性规划研究目标函数的最大和最小值,关键是通过平面区域,求得最优解,属于线性规划的应用题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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