设A为n阶正阶正定矩阵,证明A的伴随矩阵A*也是正定矩阵
题目
设A为n阶正阶正定矩阵,证明A的伴随矩阵A*也是正定矩阵
答案
因为,A为n阶正阶正定矩阵,
所以,存在可逆矩阵C,使得A=C*C的转置
设C的逆的转置=D
则D可逆,且
A的逆=D*D的转置 （对上式两边取逆就得到了）
所以A的逆也是正定的
而A*A的伴随矩阵A*=|A|*E
所以
A的伴随矩阵A*=|A|*A的逆
其中|A|是A的行列式,是一个正数,即为一个正数乘以一个正定矩阵阵
所以,A的伴随矩阵A*也是正定矩阵.
举一反三
已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．
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