(1)是否存在正整数m,n,使得m(m+2)=n(n+1)? (2)设k(k≥3)是给定的正整数,是否存在正整数m,n,使得m(m+k)=n(n+1)?
题目
(1)是否存在正整数m,n,使得m(m+2)=n(n+1)?
(2)设k(k≥3)是给定的正整数,是否存在正整数m,n,使得m(m+k)=n(n+1)?
答案
(1)答案是否定的.若存在正整数m,n,使得m(m+2)=n(n+1),则(m+1)
2=n
2+n+1,显然n>1,于是n
2<n
2+n+1<(n+1)
2,所以,n
2+n+1不是平方数,矛盾. (5分)
(2)当k=3时,若存在正整数m,n,满足m(m+3)=n(n+1),则4m
2+12m=4n
2+4n,(2m+3)
2=(2n+1)
2+8,(2m+3-2n-1)(2m+3+2n+1)=8,(m-n+1)(m+n+2)=2,而m+n+2>2,故上式不可能成立. (10分)
当k≥4时,若k=2t(t是不小于2的整数)为偶数,取m=t
2-t,n=t
2-1则m(m+k)=(t
2-t)(t
2+t)=t
4-t
2,
n(n+1)=(t
2-1)t
2=t
4-t
2,因此这样的(m,n)满足条件.若k=2t+1(t是不小于2的整数)为奇数,取
m=
,n=
则m(m+k)=
(
+2t+1)=
(t
4+2t
3-t
2-2t),n(n+1)=
• =
(t
4+2t
3-t
2-2t),因此这样的(m,n)满足条件.综上所述,当k=3时,答案是否定的;当k≥4时,答案是肯定的.
(15分)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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