异面直线所成的角

题目

异面直线所成的角
正方体中AB=a ,点E是DD1的中点,AC交BD于O点
求 B1O与C1D所成的角
AE与D1C所成的角

答案

设B1D1的中点为M,连接MD.
易得：MD ‖ B1O ,所以,∠C1DM 为B1O与C1D所成的角.
Rt△C1CD中,可求得：C1D = (√2)a ,
Rt△DD1M中,可求得：DM = (1/2)(√6)a ,
Rt△C1MD1中,可求得：C1M = (1/2)(√2)a ,
在△C1DM中,利用余弦定理,可求得：cos∠C1DM = (1/2)√3 ,
所以,∠C1DM = arccos[(1/2)√3] = 30°；
即：B1O与C1D所成的角为 30° .
设CD的中点为N,连接NE.
易得：NE ‖ D1C ,所以,∠AEN 为AE与D1C所成的角.
Rt△ADE中,可求得：AE = (1/2)(√5)a ,
Rt△NDE中,可求得：EN = (1/2)(√2)a ,
Rt△ADN中,可求得：AN = (1/2)(√5)a ,
在△AEN中,利用余弦定理,可求得：cos∠AEN = (1/10)√10 ,
所以,∠AEN = arccos[(1/10)√10] ；
即：AE与D1C所成的角为 arccos[(1/10)√10] .