函数极限的求法

题目

函数极限的求法
lim[m/(1-x^m)-n/(1-x^n)] x趋近1
我拿计算器算出来也是(m-n)/2
但这是怎么得到的?

答案

答案是
(m-n)/2
先通分得到
lim_(x->1) (m*(1-x^n)-n*(1-x^m))/((1-x^m)*(1-x^n))
应用L'Hospital法则得
lim_(x->1) (mn(x^m-x^n))/(m*x^m*(x^n-1)+n(x^m-1)*x^n)
提取mn得
mn(lim_(x->1) (x^m-x^n)/(m(x^n-1)x^m+n(x^m-1)x^n))
再应用L'Hospital法则得
mn(lim_(x->1) (m x^m-n x^n)/(m^2 (x^n-1)x^m+n^2*(x^m-1) x^n+2 mnx^(m+n)))
因为令x等于1并不会使分母为零
直接代x=1得
mn*(m-n)/(2mn)=(m-n)/2