若函数y=x^2+ax+1(x≤3)存在反函数,则a的取值范围是

题目

若函数y=x^2+ax+1(x≤3)存在反函数,则a的取值范围是

答案

若函数y=x²+ax+1(x≤3)存在反函数,则a的取值范围是
y=(x+a/2)²-a²/4+1,对称轴为x=-a/2；该函数只在x≤3存在反函数,故必有-a/2≧3,即a≤-6.
这是因为只有一一对应的函数【一个x对应一个y,且一个y对应一个x,谓之一一对应】才有反函数；二次函数的自然定义域是全体实数,在其全部定义域内,一个y总是对应着两个x,故二次函
数在其全部定义域内没有反函数；但在其对称轴的左边或右边都有反函数.题目要求在x≤3时有反
函数,这就要求对称轴x=-a/2在x=3的右边,即-a/2≧3,也就是a≤-6.