如图所示,已知点A(-3,4)和B(-2,1),试在y轴上求一点P,使PA+PB的值最小,并求出点P的坐标.

如图所示,已知点A(-3,4)和B(-2,1),试在y轴上求一点P,使PA+PB的值最小,并求出点P的坐标.

题目
如图所示,已知点A(-3,4)和B(-2,1),试在y轴上求一点P,使PA+PB的值最小,并求出点P的坐标.
答案
作点关于y轴的对称点B′,连接AB′交y轴与点P,则点P即为所求点,
∵B(-2,1),
∴B′(2,1),
设AB′的直线解析式为y=kx+b,
∵A(3,4)
2k+b=1
−3k+b=4

解得
k=−
3
5
b=
11
5

∴过点AB′的直线解析式为:y=-
3
5
x+
11
5

令x=0,则y=
11
5

∴点P的坐标为(0,
11
5
).
作点关于y轴的对称点B′,连接AB′交y轴与点P,则点P即为所求点,用待定系数法求出过点AB′的直线解析式,再令x=0即可求出P点坐标.

轴对称-最短路线问题;坐标与图形性质.

本题考查的是轴对称-最短路线问题,熟知两点之间线段最短是解答此题的关键.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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