已知y2=4a(x-a),(a>0),则u=(x-3)2+y2的最小值为_.

已知y2=4a(x-a),(a>0),则u=(x-3)2+y2的最小值为_.

题目
已知y2=4a(x-a),(a>0),则u=(x-3)2+y2的最小值为______.
答案
∵y2=4a(x-a),(a>0,x≥a),
∴u=(x-3)2+y2
=x2-6x+9+4ax-4a2
=[x-(3-2a)]2+12a-8a2
其对称轴为x=3-2a,顶点坐标为(3-2a,12a-8a2).
若3-2a≥a>0,即0<a≤1时,有x=3-2a时,u取得最小值12a-8a2
若3-2a<a,即a>1时,u在x∈[a,+∞)单调递增,∴当x=a时,u取得最小值a2-6a+9.
综上可得:umin=
12a−8a2,当0<a≤1时
a2−6a+9,当a>1时

故答案为:umin=
12a−8a2,当0<a≤1时
a2−6a+9,当a>1时
把y2=4a(x-a),(a>0,x≥a),代入u=(x-3)2+y2=[x-(3-2a)]2+12a-8a2,其对称轴为x=3-2a,通过对a于3-2a的大小讨论,再利用二次函数的单调性即可得出.

基本不等式.

本题考查了二次函数的单调性、分类讨论的思想方法,考查了推理能力,属于难题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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