同角的三角函数关系

题目

同角的三角函数关系
1.已知tanα=-2 求
sin²α+2sinαcosα-3cos²α
2.已知sinα+cosα=1/5,α∈（0,π）求sinα-cosα sin³α-cos³α

答案

解（1）：∵tanα=-2
∴cosα≠0
sin²α+2sinαcosα-3cos²α
=(sin²α+2sinαcosα-3cos²α)/(sin²α＋cos²α),分子、分母同时除以cos²α
=(sin²α/cos²α+2sinαcosα/cos²α-3cos²α/cos²α)/(sin²α/cos²α+cos²α/cos²α)
=(tan²α+2tanα-3)/(tan²α+1)
=[（-2)²+2×(-2)-3]/[（-2)²+1]
=(4-4-3)/(4+1)
=-3/5
（2）补充修改：
解（2）：∵sinα+cosα=1/5,两边同时平方得：
sin²α+cos²α+2sinαcosα=1/25
1+2sinαcosα=1/25
2sinαcosα=1/25-1=-24/25,sinαcosα=-12/25
∵(sinα-cosα)²=sin²α+cos²α-2sinαcosα=1-(-24/25)=49/25
∴(sinα-cosα)²=49/25=(±7/5)²
∵α属于（0,π)
∴0＜sinα≤1,-1＜cosα＜1,-1＜-cosα＜1
∴-1＜sinα-coaα＜2
∴sinα-cosα=7/5
sin³α-cos³α
=(sinα-cosα)(sin²α+sinαcosα+cos²α)
sin³α-cos³α=7/5×(1-12/25)=7/5×13/25=91/125