求积分∫（0到√2）dy∫（y到（4-y^2）^0.5）1/(1+x^2+y^2)^(1/2)dx

题目

求积分∫（0到√2）dy∫（y到（4-y^2）^0.5）1/(1+x^2+y^2)^(1/2)dx
过程加结果 谢谢

答案

答案是(√5-1)*π/4
√2 √（4-y^2)
∫ dy∫1/(1+x^2+y^2)^(1/2)dx
0 y
得知：积分区域D 为圆：x^2+y^2=4 与直线 y=x 和x轴 围成的图形
画出来可以看出是一个圆心角为π/4的扇形
直角坐标系变极坐标系
dxdy=r*drdθ x=cosθ*r y=sinθ*r
带入得：记得变换坐标系后要变换积分上下限
原式变成：
π/4 2
∫dθ ∫1/[1+（cosθ*r）^2+（sinθ*r）^2]^(1/2)*rdr
0 0
π/4 2
=∫dθ ∫1/[1+r^2]^(1/2)*rdr
0 0
π/4 2
=∫dθ ∫1/[1+r^2]^(1/2)d(r^2+1)
0 0
π/4
=(√5-1)*∫ dθ
0
=(√5-1)*π/4