在半径为R的半圆内作一个内接绨形,梯形底是圆的直径,其它三边为半圆的弦,问当梯形的上底多少时,面积最大

题目

在半径为R的半圆内作一个内接绨形,梯形底是圆的直径,其它三边为半圆的弦,问当梯形的上底多少时,面积最大

答案

令ABCD是⊙O的内接梯形,且AB是直径.
很明显,AB＞DC［同圆的弦,直径最大］.
∴由同圆中平行线所夹的弦相等,有：AD、BC不平行,而ABCD是梯形,∴DC∥AB,
∴AD＝BC.
分别过C、D作AB的垂线,垂足分别是E、F.
∵DC∥FE、DF⊥FE、CE⊥FE,∴CDFE是矩形,∴FE＝DC.
∵CDFE是矩形,∴DF＝CE,又AD＝BC、∠AFD＝∠BEC＝90°,∴AF＝BE,而OA＝OB,
∴OF＝OE＝FE/2＝DC/2.
令DC＝x,则OF＝x/2.
显然有：OD＝R,∴由勾股定理,有：DF＝√（OD^2－OF^2）＝√（R^2－x^2/4）.
∴梯形ABCD的面积
＝（1/2）（DC＋AB）×DF＝（1/2）（x＋2R）√（R^2－x^2/4）
＝（1/4）√［（2R＋x）^2（4R^2－x^2）］
＝（1/4）√［（2R＋x）^3（2R－x）］
＝（3√3/4）√｛［（2R＋x）/3］［（2R＋x）/3］［（2R＋x）/3］（2R－x）｝.
很明显,（2R＋x）/3、（2R－x）都是正数,
∴由均值不等式,有：
4｛［（2R＋x）/3］［（2R＋x）/3］［（2R＋x）/3］（2R－x）｝^（1/4）
≦（2R＋x）/3＋（2R＋x）/3＋（2R＋x）/3＋（2R－x）＝4R.
∴√｛｛［（2R＋x）/3］［（2R＋x）/3］［（2R＋x）/3］（2R－x）｝≦R^2.
∴当（2R＋x）/3＝2R－x 时,梯形ABCD有最大值为 3√3R^2/4.
由（2R＋x）/3＝2R－x,得：2R＋x＝6R－3x,∴4x＝4R,∴x＝R,∴DC＝R.
即：当此梯形的上底为R时,面积最大.