把自然数按从小到大的顺序写出一个2000位数:N=12345678910111213``````,这个数的个位数字是();这个数中有()个9出现?

把自然数按从小到大的顺序写出一个2000位数:N=12345678910111213``````,这个数的个位数字是();这个数中有()个9出现?

题目
把自然数按从小到大的顺序写出一个2000位数:N=12345678910111213``````,这个数的个位数字是();这个数中有()个9出现?
答案
首先做一个统计:
在自然数中
1位数有:9个 (1到9)
2位数有:90个 (99个数减去9个1位数剩下的都是2位数)
3位数有:900个 (999个数减去9个1位数和90个2位数剩下的都是3位数)
4位数有:9000个 (9999个数减去上面的1、2、3位数的数量,剩下都是4位数)
依次往下.
然后,我们再来统计以下,以每个数占一个位子看看每个级别的数排起来有多长
1位数占9×1=9位
2位数占90×2=180位
3位数占900×3=2700位
4位数占9000×4=36000位
依次往下.
题目中的是一个由2000个数排成的,
这样当1位数排完时总共9个数,比2000少.不够
到2位数排完时总共180+9=189个数,比2000少,还是不够,继续
到3位数排完时总共有2700+189=2889个数,比2000多,肯定是在3位数中的某个数结束的.
要想知道是哪个3位数,我们只需知道总共排了多少个3位数就可以了.
这个2000位的数中,前189个数字都属于1、2位数,则剩下的2000-189=1811个数全部属于3位数,那排入的3位数有多少个呢,
1811÷3=603余2
由上式可以知道,3位数中总共排入了604个数,其中第604个数没排完,只排进了前2位就结束了.
3位数中第604个数是什么呢,就是从100开始往后数的第604个数,也就是99+604=703,
703的前2位分别是7和0,到0这个数字时结束的,则这个2000位的数个位数字是0.
我们知道了当排到703时结束的.
1位数中有1个9
2位数中有19个9(首先9只出现一次,当9在个位时十位上有1至8的8种可能;当9在十位时,个位上有0至8的9种可能,则共有17种可能,当9出现2次时,只有“99”一个数,则共出现19个9)
3位数稍稍麻烦一点,当百位数确定时,则会有20个9出现(参见上面2位数的情况,但十位数上可以出现0,所以共有20个),而百位数的确定有1至6共6种可能(到7时,只有700至703时就结束了,还没来得及出现9),则有6×20=120个.
则共有1+19+120=140个9出现.
此题答案分别为:0 和 140
打得真累呀.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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