设A为n阶方阵,且A^k=0（k为正整数）,则（ ）.

题目

设A为n阶方阵,且A^k=0（k为正整数）,则（ ）.
（A）A=0 （B）A有一个不为零的特征值
（C）A的特征值全为零 （D）A有n个线性无关的特征向量
请问为什么不能理解为A^K=0 即|A^k|=0 设A的特征值为x1,x2,..xn 则x^k为A^k的特征值,即所有x^k相乘=0,则有一个特征值为0 而不是全都为0?

答案

设λ为A的特征值
则 λ^k 是 A^k 的特征值
而 A^k = 0,零矩阵的特征值只能是0
所以 λ^k = 0
所以 λ = 0.
即 A 的特征值只能为0
所以 (C) A的特征值全为0 正确.
你那样只能推出A的全部特征值的乘积等于0,A至少有一个特征值等于0.