设有抛物线C:y=-x2+9/2x-4,通过原点O作C的切线y=kx,使切点P在第一象限. (1)求k的值; (2)过点P作切线的垂线,求它与抛物线的另一个交点Q的坐标.
题目
答案
(1)设点P的坐标为(x
1,y
1),则y
1=kx
1①
y
1=-x
12+
x
1-4②
①代入②得x
12+(k-
)x
1+4=0.
∵P为切点,
∴△=(k-
)
2-16=0得k=
或k=
.
当k=
时,x
1=-2,y
1=-17.
当k=
时,x
1=2,y
1=1.
∵P在第一象限,∴所求的斜率k=
.
(2)过P点作切线的垂线,其方程为y=-2x+5③
将③代入抛物线方程得x
2-
x+9=0.
设Q点的坐标为(x
2,y
2).则x
2+2=
∴x
2=
,y
2=-4,∴Q(
,-4)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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