将正方形的四个顶点用线段连接,什么样的连法最短?

题目

将正方形的四个顶点用线段连接,什么样的连法最短?

答案

我有一种联法,但不能断定在所有连法中最短,而只能在我所知道中是最短的.方法如下: 为简便计,不妨设正方形ABCD边长为1,今取两对边AB、CD的中点分别为E、F,连接EF,现在在EF上取两个对称点G、H,它们到最近边的距离GE=FH=x,则AG=BG=CH=DH=√[(1/2)^2+x^2],GH=1-2x 连线总长度s=1-2x+4√[(1/2)^2+x^2] .(1) s取极大值时,s‘=0 s'=-2+4*1/2*1/√[(1/2)^2+x^2] *2x =-2+4x/√[(1/2)^2+x^2]=0 解得 x=√3/6 代入到(1)中,s=1+√3≈2.73 而两对角线长为2√2≈2.82 经过三边为3 之字形经过边、对角线、边=2+√2≈3.42 相对来说,s=1+√3最短. 有没有其他方法呢?高手知者望指教!