别举例子,万一有一个无限循环小数不是分数呢?

题目

别举例子,万一有一个无限循环小数不是分数呢?
你知道什么叫无限循环小数不?
知道什么叫分数不?
为什么无限循环小数都是分数?

答案

有两种解释：
第一：（简单解释）
假设位数最多的非无限循环有理数被写出,我们在这个数的最后再加一位,这个数还是有限位有理数,但位数比已写出有理数多一位,证明原来写出的不是位数最多的非无限循环有理数.所以位数最多的非无限循环有理数是不可能被写出的.
第二：（复杂解释）
解决这个问题,首先运用分类的思想,排除公认的部分,只需说明其余部分即可.
一、有理数是整数和分数的总称.
整数,公认的当然不是无限小数.
下面说明分数,可以把它分为两类.
第一类,约分后,分母只含有2或5的质因数,这类分数化为小数后,一定是有限小数.理由如下：
（1）把分母分解质因数后,如果因数2的个数和因数5的个数相同,那么,这时的分母是10n,用它去除分子,当然得到有限小数,小数位有n位；
（2）把分母分解质因数后,如果因数2的个数比因数5的个数多m个,就在分母和分子上都乘以5m,这时,分母又成为10n,还是化为了有限小数；
（3）把分母分解质因数后,如果因数5的个数比因数2的个数多k个,就在分母和分子上都乘以2k,使得分母仍然成为10n,又化为了有限小数.
第二类,约分后把分母分解质因数,质因数中有2和5以外的质数.这时化成的小数一定是无限循环小数.
理由分两步来说明.
第一步,先说明化得的小数是无限的.
由于m÷(abc)=m÷a÷b÷c=m÷b÷c÷a=m÷c÷a÷b=…
于是可以先用分母中的质因数2k、5t（k 都是自然数）去除分子,得到了有限小数.
这时,用一个2和5以外的质因数,例如“3”去除分子,由于分数是既约分数（意思是约分之后的分数）,则不可能整除而需要补“零”,但补“零”后,绝对不会商一个数后使它和“3”相乘以后的积的末位是“零”,（因为只有2和5相乘才得“零”）,这样相减后余数不会是“零”,于是只好再补“零”,而此时,又是刚才的局面,所以,“零”要无尽无休地补下去,商也就无尽无休地商下去,商,也就是分数的值也要无尽无休地写下去.即化得的小数是无限的.
第二步,说明化得的无限小数为什么是循环的.
它的原因是,开始补“零”后商哪个数字,是由上一次得到的眼前的余数决定的,如果逐次补“零”得到的一次次余数从某次开始循环起来了,那么,商也就开始循环了.
而余数只能在大于“0”并小于除数之间的自然数中间变化,这些自然数的个数是有限的,那么当然,做多（w-1）次以后,余数就要重复了,那么商也要和余数配合起来重复,出现了循环.（在这里用w代表作为除数的那个不是2和5的质因数）.