据我了解我们用两个无穷小的比值极限反映两个无穷小趋于零的快慢,当当他们的比值极限等于-1,是否等价?

题目

据我了解我们用两个无穷小的比值极限反映两个无穷小趋于零的快慢,当当他们的比值极限等于-1,是否等价?
比如 x→0时,x、-x都是无穷小,他们比值的极限等于-1,于是它们趋于零的速度是一样的,所有理论上他们是等价的,但高数课本上跟的等价无穷小等价定义是比值极限等于1,而不是比值的极限的绝对值等于1

答案

其实严格的来说,高数课本上的等价无穷小等价定义更为准确.比如你说的例子当 x→0时,x、-x都是无穷小,他们比值的极限等于-1,于是它们趋于零的速率是一样的,但两者是从不同的方向趋近于零.等价严格的来说应该是趋近于零的速率和方向都应相同.