已知点P(3,1),点Q(0,t)是y轴上的动点,问:当t在什么范围内取值是,在x轴上存在点M,使MP与MQ垂直

题目

已知点P(3,1),点Q(0,t)是y轴上的动点,问:当t在什么范围内取值是,在x轴上存在点M,使MP与MQ垂直
用直线解

答案

由题意设点M坐标是(a,0)
当t=0时,即点Q在原点时,在x轴上存在点M(3,0),易知此时MP与MQ垂直
当t≠0时,直线MP斜率存在且k(MP)=(1-0)/(3-a)=1/(3-a) (其中a≠3)
由于MP与MQ垂直,则k(MP)*k(MQ)=-1 （其中a≠0）
而直线MQ斜率也存在且k(MQ)=(t-0)/(0-a)=-t/a
所以[1/(3-a)]*(-t/a)=-1
即t=a(3-a)=-(a²-3a+9/4)+9/4=-(a-3/2)²+9/4≤9/4
所以当t＝0时,存在点M(3,0),使得MP与MQ垂直
当t≠0且t≤9/4时,存在满足等式t=a(3-a)的点M(a,0),使得MP与MQ垂直.