已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且它的图象关于直线x=1对称.(1)证明:f(x)是周期为4的周期函数;(2)若f(x)=x(0<x≤1),求x∈[-5,-4]时,函数f(x)的解析式.
题目
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且它的图象关于直线x=1对称.
(1)证明:f(x)是周期为4的周期函数;
(2)若f(x)=
(0<x≤1),求x∈[-5,-4]时,函数f(x)的解析式.
答案
(1)证明:由函数f(x)的图象关于直线x=1对称,
有f(x+1)=f(1-x),即有f(-x)=f(x+2).
又函数f(x)是定义在R上的奇函数,有f(-x)=-f(x).故f(x+2)=-f(x).
从而f(x+4)=-f(x+2)=f(x).即f(x)是周期为4的周期函数.
(2) 由函数f(x)是定义在R上的奇函数,有f(0)=0.x∈[-1,0)时,-x∈(0,1],
f(x)=-f(-x)=-.故x∈[-1,0]时,
f(x)=-.x∈[-5,-4]时,x+4∈[-1,0],
f(x)=f(x+4)=-.
从而,x∈[-5,-4]时,函数f(x)的解析式为
f(x)=-.
(1)由函数f(x)的图象关于直线x=1对称,有f(x+1)=f(1-x),即有f(-x)=f(x+2).又函数f(x)是定义在R上的奇函数,故f(x+2)=-f(x),得到f(x)是周期为4的周期函数.
(2)根据函数f(x)是定义在R上的奇函数,得到x∈[-1,0]时的解析式.当x∈[-5,-4]时,x+4∈[-1,0],写出解析式,得到x∈[-5,-4]时,函数f(x)的解析式.
函数奇偶性的性质;函数解析式的求解及常用方法;函数的周期性.
本题考查函数奇偶性的性质,函数解析式的求解常用的方法,本题解题的关键是根据函数是一个奇函数对函数式进行整理,本题是一个中档题目.
举一反三
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