AB平行于DC,连接BC,AB=3,CD=5,且角ABC=角DCB=90度

题目

AB平行于DC,连接BC,AB=3,CD=5,且角ABC=角DCB=90度
BC上是否存在点P,使角APD=90度,如存在,请求出BP的长

答案

先假设BC上存在点P,使角APD=90度.由于BC不确定,设BC长为a,BP=x,PC=a-x.
角ABC=角DCB=90度,有AP^2=AB^2+BP^2,DP^2=PC^2+DC^2
过A点作AF⊥DC,则有AD^2=AF^2+DF^2(AF=BC=a,DF=DC-AB),又AD^2=AP^2+PD^2
所以,AB^2+BP^2+PC^2+DC^2=AF^2+DF^2
将AB=3,CD=5,BP=x,PC=a-x.代入AB^2+BP^2+PC^2+DC^2=AF^2+DF^2
有:9+x^2+(a-x)^2+25=a^2+4
化简得x^2-ax+15=0,要使这个方程成立,△≥0,即a^2≥60,a≮0,a≥2√15
由于BC不确定,所以点P也不确定,取BC=a=2√15,则BC上存在点P,使角APD=90度
BP=√15