当x趋向于0时,limf(x)/x=1,且f‘’(x)>0,证明：f(x)>=x

题目

当x趋向于0时,limf(x)/x=1,且f‘’(x)>0,证明：f(x)>=x

答案

当x趋向于0时 ,lim f(x)/x=1
由洛必达法则,对分子分母同时求导,
得到
当x趋向于0时 ,lim f(x)/x=1=f '(x) /1
所以f '(0)=1,
令F(x)=f(x) -x
显然F(0)=0
得到F'(x)=f '(x) -1
所以F'(0)=f '(0) -1=0,
而f ''(x)>0,即f '(x)单调递增,
又f '(0)=1,
所以x>0时,f '(x)>0,
即F'(x)=f '(x) -1>0,
所以F(x)在大于0时单调递增
x<0时,f '(x)<0,
即F'(x)=f '(x) -1<0,
所以F(x)在小于0时单调递减
即x=0时,F(x)=f(x) -x取最小值
而F(0)=0,
所以F(x)恒大于等于0,
即f(x)>=x