不定积分三角代换为什么要写上t的范围?

不定积分三角代换为什么要写上t的范围?

题目
不定积分三角代换为什么要写上t的范围?
答案
因为三角代换后,自变量也就变了,当然要写上t的范围.
如:
求∫1*dx(x∈(0,1))的不定积分
首先我们直接解的∫1*dx=x,而x∈(0,1),故:∫1*dx=1
现在我们用代换:
正确的代换:令x=sint 明显 t∈(0,π/2),
于是∫1*dx=∫1*dsint=sint=sin(π/2)-sin0=1-0=1
错误的代换:令x=sint ,t的自变量依然采用x的自变量(0,1)
于是∫1*dx=∫1*dsint=sint=sin1-sin0=sin1=sin(57.32°)≠1
这样你就知道为什么要换上t的范围了吧.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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