高三不等式问题,在线等急用!

题目

高三不等式问题,在线等急用!
已知函数f（x）=|2x+1|+|2x-3|.
①求不等式f（x）≤6的解集.
②若关于x的不等式f（x）＞a恒成立,求实数a的取值范围.

答案

f(x)=|2x+1|+|2x-3|
即f(x)=2|x+1/2|+2|x-3/2|
f(x)=2（|x+1/2|+|x-3/2|）
令g(x)=|x+1/2|+|x-3/2|
f(x)≦6,即g(x)≦3
g(x)表示的几何意义是：数轴上表示x的点到表示-1/2和3/2的距离之和.
显然当x位于-1/2和3/2之间时,g(x)是定值,为2；
当x=-1或x=2时,g(x)=3
所以,要使g(x)≦3,则-1≦x≦2；
因为g(x)的最小值为2,所以,f(x)的最小值为4
f(x)>a恒成立,则a要小于f(x)的最小值
即：a