设z=f（exsiny，x2+y2），其中f具有二阶连续偏导数，求∂2z∂x∂y．

题目

设z=f（e^xsiny，x²+y²），其中f具有二阶连续偏导数，求

∂2z

∂x∂y

．

答案

∵z=f（e^xsiny，x²+y²），
∴

∂z

∂x

＝f′1•[exsiny]x+f′2•[x2+y2]x=e^xsinyf′₁+2xf′₂，
进一步得：

∂2z

∂x∂y

＝

∂

∂y

(

∂z

∂x

)=[e^xsinyf'₁]_y+[2xf′₂]_y
=ex[cosyf′1+siny•

∂f′1

∂y

]+2x

∂f′2

∂y

=excosyf′1+exsiny•[f″11•excosy+f″12•2y]+2x[f″21•excosy+f″22•2y]
=e2xsinycosyf″11+2ex(ysiny+xcosy)f″12+4xyf″22+excosyf′1，

此题考查没有具体表达式的多元复合函数求导法则的使用．

本题考点：二阶偏导的计算．

考点点评：偏导数的求解过程中，为了书写的简单，经常会用

f

′ 1

表示函数f对第一个变量求偏导，f″₁₂表示函数f对第一个变量求偏导再对第二变量求偏导．