已知函数f（x）=lg（1+x）-lg（1-x），a、b∈（-1，1），且f（a+b/1+ab）=1，f（a−b1+ab）=2，求f（a），f（b）的值．

题目

已知函数f（x）=lg（1+x）-lg（1-x），a、b∈（-1，1），且f（

a+b

1+ab

答案

∵f（x）=lg（1+x）-lg（1-x）=lg

1+x

1−x

∴当a，b∈（-1，1）时，即1-a＞0，1-b＞0时，
f（a）+f（b）=[lg（1+a）-lg（1-a）]+[lg（1+b）-lg（1-b）]
=lg

1+a

1−a

+lg

1+b

1−b

=lg（

1+a

1−a

•

1+b

1−b

）
=lg

(1+a)(1+b)

(1−a)(1−b)

=lg

1+a+b+ab

1−a−b+ab

∵f（

a+b

1+ab

）=lg（1+

a+b

1+ab

）-lg（1-

a+b

1+ab

）
=lg

1+a+b+ab

1+ab

-lg

1−a−b+ab

1+ab

=lg

1+a+b+ab

1−a−b+ab

=1，
∴f（a）+f（b）=f（

a+b

1+ab

）=1，
同理，得到f（a）-f（b）=f（

a−b

1+ab

）=2，
∴解得到f（a）=

3

2

，f（b）=-

1

2

．