求证明 ：∫[0,1] f^2(x)dx大于等于【∫[0,1] f（x）dx】^2

题目

求证明 ：∫[0,1] f^2(x)dx大于等于【∫[0,1] f（x）dx】^2

答案

构造g(t)=t^2-2f(x)t+f(x)^2=(t-f(x))^2,易知g非负
将g视为x的函数在[0,1]内积分,得到的结果是关于t的二次函数,因为每点函数值非负,得到的二次函数也是非负的,所以判别式不大于0,整理判别式就是要证的式子
这个是积分的柯西不等式