解析几何,求双曲线离心率范围?

题目

解析几何,求双曲线离心率范围?
已知直线l:y=x+m与双曲线C：（x^22）-（y^2^2）=1(b＞0）,无论m为何实数,l与C都恒有公共点,求双曲线C的离心率e的取值范围?

答案

直线l:y=x+m的斜率k=1,过动点（0,m)

y=x+m,代入（x^22）-（y^2/b^2）=1
x²/2-(x+m)²/b²=1
(b²-2)x²-4mx-2m²-2b²=0
b²-2=0时,方程为-4mx-2m²-4=0
m=0时无解
b²-2≠0时,方程有解,则需
Δ=16m²+8(b²-2)(m²+b²)≥0恒成立
即b²m²+b⁴-2b²≥0
m²+b²-2≥0恒成立
需b²-2≥0 ,恒成立
∵b>0,b²-2≠0
∴b>√2
c²=a²+b²>2+2=4, ∴c>2
∴e=c/a>2/√2=√2
∴双曲线C的离心率e的取值范围是(√2,+∞)