已知数列｛a(n)}的前n项和为S(n),且S(n)=n-5a(n)-85,n属于正整数.证明：｛a(n)-1}是等比数列?

题目

已知数列｛a(n)}的前n项和为S(n),且S(n)=n-5a(n)-85,n属于正整数.证明：｛a(n)-1}是等比数列?

答案

证明：
∵S(n)=n-5a(n)-85,S(n+1)=n+1-5a(n+1)-85
∴a(n+1)=S(n+1)-S(n)=-5a(n+1)+5a(n)+1
∴6a(n+1)=5a(n)+1
∴6a(n+1)-6=5a(n)-5
∴[a(n+1)-1]/[a(n)-1]=5/6
也即：｛a(n)-1}是等比数列