已知a,b,c都是复数,且|a|=|b|=|c|=1,a+b+c≠0,则|(ab+bc+ca)/(a+b+c)|=

题目

已知a,b,c都是复数,且|a|=|b|=|c|=1,a+b+c≠0,则|(ab+bc+ca)/(a+b+c)|=

答案

设a=cosα+isinα,b=cosβ+isinβ,c=cosγ+isinγ
ab=cos(α+β)+isin(α+β)
bc=cos(β+γ)+isin(β+γ)
ac=cos(α+γ)+isin(α+γ)
a+b+c=(cosα+cosβ+cosγ)+i(sinα+sinβ+sinγ)
ac+bc+ac
=cos(α+β)+cos(β+γ)+cos(α+γ)+i[sin(α+β)+sin(β+γ)+sin(α+γ)]
∴|ab+bc+ac|=√[3+2cos(α-γ)+2cos(β-γ)+2cos(α-β)]
∴|a+b+c|=√[3+2cos(α-β)+2cos(α-γ)+2cos(β-γ)]
∴|(ab+bc+ac)/(a+b+c)|=|ab+bc+ac|/|a+b+c|=1