数列{an}的前N项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn(n∈N*). (Ⅰ)求数列{an}的通项an; (Ⅱ)求数列{nan}的前n项和Tn.
题目
数列{an}的前N项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn(n∈N*).
(Ⅰ)求数列{an}的通项an;
(Ⅱ)求数列{nan}的前n项和Tn.
答案
(I)∵a
n+1=2S
n,
∴S
n+1-S
n=2S
n,
∴
=3.
又∵S
1=a
1=1,
∴数列{S
n}是首项为1、公比为3的等比数列,S
n=3
n-1(n∈N*).
∴当n≥2时,a
n-2S
n-1=2•3
n-2(n≥2),
∴a
n=
(II)T
n=a
1+2a
2+3a
3+…+na
n,
当n=1时,T
1=1;
当n≥2时,Tn=1+4•3
0+6•3
1+…+2n•3
n-2,①3T
n=3+4•3
1+6•3
2+…+2n•3
n-1,②
①-②得:-2Tn=-2+4+2(3
1+3
2+…+3
n-2)-2n•3
n-1=2+2•
−2n•3n−1=-1+(1-2n)•3n-1
∴Tn=
+(n-
)3
n-1(n≥2).
又∵Tn=a
1=1也满足上式,∴Tn=
+(n-
)3
n-1(n∈N*)
(I)利用递推公式an+1=2Sn把已知转化为an+1与an之间的关系,从而确定数列an的通项;
(II)由(I)可知数列an从第二项开始的等比数列,设bn=n则数列bn为等差数列,所以对数列n•an的求和应用乘“公比”错位相减.
数列的求和;数列递推式.
本小题考查数列的基本知识,考查等比数列的概念、通项公式及数列的求和,考查分类讨论及化归的数学思想方法,以及推理和运算能力.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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