已知α，β，γ成公比为2的等比数列（α∈[0，2π]），且sinα，sinβ，sinγ也成等比数列．求α，β，γ的值．

题目

已知α，β，γ成公比为2的等比数列（α∈[0，2π]），且sinα，sinβ，sinγ也成等比数列．求α，β，γ的值．

答案

∵α，β，γ成公比为2的等比数列，
∴β=2α，γ=4α，
∵sinα，sinβ，sinγ成等比数列
∴

sinβ

sinα

＝

sinγ

sinβ

⇔

sin2α

sinα

＝

sin4α

sin2α

⇒cosα＝2cos2α−1即2cos²α-cosα-1=0解得cosα＝1，或cosα＝−

1

2

当cosα=1时，sinα=0，与等比数列的首项不为零，故cosα=1应舍去，当cosα＝−

1

2

，α∈[0，2π]时，α＝

2π

3

或α＝

4π

3

，所以α＝

2π

3

，β＝

4π

3

，γ＝

8π

3

或α＝

4π

3

，β＝

8π

3

，γ＝

16π

3