若一个底面边长为62，棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，则此球的体积为（　　） A.722π B.323π C.92π D.43π

题目

若一个底面边长为

6

2

，棱长为

6

的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，则此球的体积为（　　）
A. 72

2

π
B. 32

3

π
C. 9

2

π
D. 4

3

π

答案

由已知中中正六棱柱的底面边长为

6

2

，棱长为

6

则六棱柱底面截球所得的截面圆半径r=

6

2

球心到底面的距离，即球心距d=

6

2

根据球半径、截面圆半径，球心距构造直角三角形，满足勾股定理，
我们可得，六棱柱的外接球半径R=

3

∴六棱柱的外接球体积V=

4

3

πR3=4

3

π
故选D

由已知中一个底面边长为

6

2

，棱长为

6

的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，我们易求出棱柱底面截球所得的截面圆半径r，及球心到底面的距离，即球心距d，根据球半径、截面圆半径，球心距构造直角三角形，满足勾股定理，求出球半径，即可得到球的体积．

本题考点：球内接多面体；球的体积和表面积．

考点点评：本题考查的知识点是球内接多面体及球的体积和表面积，其中根据已知条件计算出球的半径是解答本题的关键．其中把六棱柱镶嵌到球体里面中，要注意半径、棱柱的高、及棱柱底面边长的关系．