如图,∠BAC=90°,AB=AC,D点在AC上,E点在BA的延长线上,BD=CE,BD的延长线交CE于F,试证明:BF⊥CE.

如图,∠BAC=90°,AB=AC,D点在AC上,E点在BA的延长线上,BD=CE,BD的延长线交CE于F,试证明:BF⊥CE.

题目
如图,∠BAC=90°,AB=AC,D点在AC上,E点在BA的延长线上,BD=CE,BD的延长线交CE于F,试证明:BF⊥CE.
答案
证明:∵∠BAC=90°,
∴∠CAE=∠BAC=90°.
在Rt△BAD和Rt△CAE中,
BD=CE
AB=AC

∴Rt△BAD≌Rt△CAE(HL),
∴∠ABD=∠ACE,又∠ADB=∠CDF,
∴∠ABD+∠ADB=∠ACE+∠CDF.
又∵∠ABD+∠ADB=90°.
∴∠ACE+∠CDF=90°,
∴∠BFC=90°,
∴BF⊥CE.
先根据HL证明Rt△BAD≌Rt△CAE,从而得出∠ABD=∠ACE,根据角之间的转换从而得到∠BFC=90°,即BF⊥CE.

全等三角形的判定与性质.

此题主要考查全等三角形的判定和性质;发现并利用Rt△BAD≌Rt△CAE是正确解决本题的关键,做题时要充分利用题目中的已知条件.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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