∫x^3（lnx）^2dx

题目

∫x^3（lnx）^2dx
这种题有规律吗

答案

这题得用分部积分法.
∫x^3（lnx）^2dx
=(1/4)∫（lnx）^2d(x^4)
=(1/4)(x^4)（lnx）^2-(1/4)∫(x^4)d(（lnx）^2)
=(1/4)(x^4)（lnx）^2-(1/4)∫(x^4)2lnx*(1/x)dx
=(1/4)(x^4)（lnx）^2-(1/2)∫(x^3)lnxdx
=(1/4)(x^4)（lnx）^2-(1/8)∫lnxd(x^4)
=(1/4)(x^4)（lnx）^2-(1/8)(x^4)lnx+(1/8)∫(x^4)d(lnx)
=(1/4)(x^4)（lnx）^2-(1/8)(x^4)lnx+(1/8)∫(x^4)(1/x)dx
=(1/4)(x^4)（lnx）^2-(1/8)(x^4)lnx+(1/8)∫(x^3)dx
=(1/4)(x^4)（lnx）^2-(1/8)(x^4)lnx+(1/32)(x^4)+C
其实就是反复用分部积分法一点一点消去lnx