证明当x>0时,ln(1+x)>x-(1/2)x²
题目
证明当x>0时,ln(1+x)>x-(1/2)x²
答案
设f(x)=ln(1+x)-x+1/2x^2
f'(x)=1/(x+1)-1+x=(1-x-1+x^2+x)/(x+1)=(x^2)/(x+1)
由于x+1>0,故有f'(x)>=0
即函数f(x)在x>0上是单调增的.
即有f(x)>f(0)=ln1-0+0=0
即有f(x)>0
所以有ln(1+x)>x-1/2x^2
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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