如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AE平分∠BAC交BC于E,交CD于F,FG∥AB交BC于G.试判断CE,CF,GB的数量关系,并说明理由.
题目
如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AE平分∠BAC交BC于E,交CD于F,FG∥AB交BC于G.试判断CE,CF,GB的数量关系,并说明理由.
答案
CE=CF=GB.
理由如下:
(1)∵∠ACB=90°,
∴∠BAC+∠ABC=90°.
∵CD⊥AB,
∴∠ACD+∠CAD=90°.
∴∠ACD=∠ABC.
∵AE平分∠BAC,
∴∠BAE=∠CAE.
∵∠CEF=∠BAE+∠ABC,∠CFE=∠CAE+∠ACD,
∴∠CEF=∠CFE.
∴CE=CF(等角对等边).
(2)如图,过E作EH⊥AB于H,
∵AE平分∠BAC,EH⊥AB,EC⊥AC,
∴EH=EC(角平分线上的点到角两边的距离相等).
∴EH=CF.
∵FG∥AB,
∴∠CGF=∠EBH.
∵CD⊥AB,EH⊥AB,
∴∠CFG=∠EHB=90°.
在Rt△CFG和Rt△EHB中
∵
,
∴Rt△CFG≌Rt△EHB(AAS).
∴CG=EB.
∴CE=GB.
∴CE=CF=GB.
根据已知利用角之间的关系得出∠CEF=∠CFE,由等角对等边可得到CE=CF,过E作EH⊥AB于H,利用AAS判定Rt△CFG≌Rt△EHB,从而得到CG=EB即CE=GB,所以就得到了CE=CF=GB.
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