一道关于函数的题

题目

一道关于函数的题
已知定义在正整数集上的函数f(x)对任意m,n属于N+,都有f(m+n)=f(m)+f(n)+4(m+n)-2,且f(1)=1,求f(x)的表达式

答案

以n=1代入,有f(m＋1)=f(m)＋f(1)＋4(m＋1)－2,即f(m＋1)=f(m)＋4m＋3,f(m＋1)－f(m)=4m＋3,按照数列累加,有f(m＋1)－f(1)=4[1＋2＋…＋m]＋3m,f(m＋1)=2m(m＋1)＋3m＋1,即f(m)=2m²＋m－2.