W是一个有限维内积空间(V,)的子空间,证明(W⊥)⊥=W (W⊥是W的正交补)

题目

W是一个有限维内积空间(V,)的子空间,证明(W⊥)⊥=W (W⊥是W的正交补)
提示：证明dim((W⊥)⊥)=dim(W)和W⊂(W⊥)⊥

答案

首先,对所有x属于W,x垂直于所有W⊥中的元素,所以x属于(W⊥)⊥,所以W⊂(W⊥)⊥.
然后,因为是有限维度,所以dim(W⊥) + dim((W⊥)⊥) = dim(X),而且dim(W) + dim(W⊥) = dim(X).(X是整个空间)
所以dim((W⊥)⊥)=dim(W)