已知f(x)在【0,1】上具有二阶导数且f(0)=f(1)=0设F(x)=xf(x)证明：在（0,1）内方程F’’(x)=0存在实数根

题目

已知f(x)在【0,1】上具有二阶导数且f(0)=f(1)=0设F(x)=xf(x)证明：在（0,1）内方程F’’(x)=0存在实数根

答案

对区间[0.1/2]和区间[1/2,1]用拉格朗日定理
F(1/2)-F(0)=1/2 F`(ξ1) ξ1属于(0,1/2)
F(1)-F(1/2)=1/2F`(ξ2) ξ2属于(1/2,1)
两式相加的F`(ξ1)+F`(ξ2)=0 则F`(ξ1)*F`(ξ2)