如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC与BD相交于点O，∠BOC= 120°，AD=2，BC=4． 求：等腰梯形ABCD的面积．

题目

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC与BD相交于点O，∠BOC=
120°，AD=2，BC=4．
求：等腰梯形ABCD的面积．

答案

过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，
∵AD∥BC，
∴∠AEF=∠DFE=∠ADF=90°，
∴四边形AEFD是矩形，
∴EF=AD=2，
在Rt△AEB和Rt△DFC中，

AB=DC AE=DF

，
∴Rt△AEB≌Rt△DFC（HL），
∴BE=FC=

1

2

（BC-AD）=1，
∴EC=3，
∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，
∴∠ABC=∠DCB，
在△ABC与△DCB中，

AB=DC ∠ABC=∠DCB BC=CB

，
∴△ABC≌△DCB（SAS），
∴∠ACB=∠DBC，
∵∠BOC=120°，
∴∠ACB=30°，
∴AE=EC•tan∠ACE=3×

3

3

=

3

，
∴S_梯形ABCD=

1

2

（AD+BC）•AE=

1

2

×（2+4）×

3

=3

3

．

首先过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，即可得四边形AEFD是矩形，则可求得BE与EC的长，根据SAS证得△ABC≌△DCB，即可求得∠ACE的度数，然后即可求得高AE的长，则可求得等腰梯形ABCD的面积．

本题考点：等腰梯形的性质．

考点点评：此题考查了等腰梯形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，掌握数形结合思想的应用．