已知函数f(x)>0,且f(xy)=f（x）*f(y)若x>1.则f(x)>1.求f（1）证明f(x)在x>0上单调递增

题目

已知函数f(x)>0,且f(xy)=f（x）*f(y)若x>1.则f(x)>1.求f（1）证明f(x)在x>0上单调递增

答案

1.f(1)=f(1×1)=f(1)×f(1),从而 f(1)=0 或 f(1)=1,又由题 f(x)>0,故 f(1)=1.
2.设 x2>x1>0,则 x2/x1>1,且由题,有 f(x2/x1)>1,从而
f(x2)=f(x1× x2/x1)=f(x1)×f(x2/x1)>f(x1)×1=f(x1),即 f(x) 在 x>0 上严格单调递增.