一道三角恒等变换题

题目

一道三角恒等变换题
是否存在锐角α和β,使得①α+2β=2π/3；②tanα/2*tanβ=2-√3 同时成立?若存在,求出角α和β的值；若不存在,说明理由.

答案

tαn(α/2+β)=[tαn(α/2)+tαnβ]/[1-tαn(α/2)tαnβ]
即tαn(π/3)=[tαn(α/2)+tαnβ]/[1-(2-√3)]=√3
tαn(α/2)+tαnβ=√3(√3-1)
tαn(α/2)+tαnβ=3-√3
可知(tαnα/2)与tαnβ是方程x^2-(3-√3)x+2-√3=0的两根
(x-(2-√3))(x-1)=0
x=2-√3>0 x=1>0
由锐角α,β tαnα>0 tαnβ>0
可知存在锐角α,β
tαnα=2-√3 tαnβ=1 or tαnα=1 tαnβ=2-√3
α=π/12 β=π/4 or α=π/4 β=π/12