一内壁光滑的环形细圆管位于竖直平面内，环的半径为R（比细圆管的半径大得多），圆管中有两个直径与圆管内径相同的小球A、B（可视为质点）．已知A球的质量为m1，B球的质量为m2，它们

题目

一内壁光滑的环形细圆管位于竖直平面内，环的半径为R（比细圆管的半径大得多），圆管中有两个直径与圆管内径相同的小球A、B（可视为质点）．已知A球的质量为m₁，B球的质量为m₂，它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为V₀．设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点．若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m₁、m₂、R与V₀应满足什么关系？

答案

A球在最低点受到的向心力的大小为m1

v02

R

A球运动到最低点时速度为V₀，A球受到向下重力mg和细管向上弹力N₁的作用，其合力提供向心力．根据牛顿第二定律，得：N₁-m₁g=m1

v02

R

…①
这时B球位于最高点，设速度为V₁，B球受向下重力m₂g和细管弹力N₂作用．球作用于细管的力是N₁、N₂的反作用力，要求两球作用于细管的合力为零，即要求N₂与N₁等值反向，N₁=N₂…②，
且N₂方向一定向下，
对B球：N₂+m₂g=m2

v12

R

…③
B球由最高点运动到最低点时速度为V₀，此过程中机械能守恒定律，得：

1

2

m2v12+m2g•2R＝

1

2

m2v02…④
 由①②③④式消去N₁、N₂和V₁后得到m₁、m₂、R与V₀满足的关系式是：
m₁-m₂）

v02

R

+（m₁+5m₂）g=0
答：若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m₁、m₂、R与V₀应满足（m₁-m₂）

v02

R

+（m₁+5m₂）g=0