设函数f(x)可微且满足关系式：{积分符号从0到x }[2f(t)-1]=f(x)-1,求f(x)

题目

设函数f(x)可微且满足关系式：{积分符号从0到x }[2f(t)-1]=f(x)-1,求f(x)
积分符号敲不上去,答案是f(x)=1/2 *(e^2x +1)

答案

等式两边令x＝0得f(0)＝1
等式两边求导：2f(x)－1＝f'(x)
令y＝f(x),则y'＝2y-1,此为一阶非齐次线性微分方程,套用通解公式可得通解y＝1/2＋Ce^(2x).所以f(x)＝1/2＋Ce^(2x),再由f(0)＝1得C＝1/2,所以f(x)＝1/2[1＋e^(2x)]