设f（x）=lnx+x,方程2mf(x)=x^2有唯一实数解,求正数m的取值

题目

设f（x）=lnx+x,方程2mf(x)=x^2有唯一实数解,求正数m的取值

答案

答：
f(x)=lnx+x,2mf(x)=x^2
2m(lnx+x)=x^2
2mlnx+2mx=x^2
设g(x)=2mlnx+2mx-x^2,x>0,m>0
求导：
g'(x)=2m/x+2m-2x
解g'(x)=0得：x-m/x=m
解得：x1=[m+√(m^2+4m)]/2（另外一个x2不符合x>0舍去）
x1-m/x1=m………………………………（1）
00,g(x)是增函数
x>x1时,g'(x)<0,g(x)是减函数
x=x1时g(x)取得最大值
x趋于0+时,g(x)趋于负无穷
x趋于+∞时,g(x)趋于负无穷
所以：x=x1是g(x)的唯一零点
所以：g(x1)=2mln(x1)+2m(x1)-(x1)^2=0………………（2）
由（1）和（2）解得m=1/2