双曲线一题

题目

双曲线一题
已知曲线x^2-(y^2/3)=1上存在关于直线l: y=kx+4对称的点,求实数K的取值范围.

答案

x^2-y^2/3=1
3x^2-y^2-3=0
假设两点坐标是(x1,y1),(x2,y2)
则(1)过这两点的直线垂直于y=kx+4(2)这两点的中点[(x1+x2)/2,(y1+y2)/2]在y=kx+4
所以(1)(y2-y1)/(x2-x1)=-1/k就是y2-y1=-(x2-x1)/k
(2)(y1+y2)/2=k(x1+x2)/2+4就是y1+y2=k(x1+x2)+8
两式左右分别相乘得到
y2^2-y1^2=x1^2-x2^2-8(x2-x1)/k
又因为3x^2-y^2-3=0所以y^2=3x^2-3
所以y1^2=3x1^2-3
y2^2=3x2^2-3带入上面的式子
(3x2^2-3)-(3x1^2-3)=x1^2-x2^2-8(x2-x1)/k
4(x2^2-x1^2)=-8(x2-x1)/k
所以x2-x1=0或者x2+x1=-2/k
x2-x1=0则y1+y2=0这两点只能关于x轴对称,而y=kx+4不可能是x轴
所以只能x2+x1=-2/k所以x2=-x1-2/k
所以y1+y2=k(x1+x2)+8=6所以y2=6-y1
所以(6-y1)^2=3(-x1-2/k)^2-3
且y1^2=3x1^2-3
两式相减整理得到
-y1=x1/k+1/k^2-3
两边平方并把y1^2=3x1^2-3带入得到
(3-1/k^2)x1^2+[2*(3-1/k^2)/k]x1-(3-1/k^2)^2-3=0
要这个方程有两个不同的解则
△>0所以(1/k^2-3)(2/k^2-9)>0
则两个括号或同为正或同为负
若同为正则k^2